Вы настраиваете почтовый приемник, он через PHP подключается к ящику и раз в указанное в задаче планировщика время проверяет почту и создает из писем заявки.
Где будет хоститься почтовый ящик решать вам, это может быть как внешняя почта, аля gmail, так и внутренняя на локальном почтовом сервере, а что за сервер , будь то EXIM / Postfix / Exchange совершенно не важно.
Тот кто создал заявку, может продолжать работать через письма, glpi по отбивкам в теме письма будет определять заявку.
А вот исполнитель заявки (на кого вы ее назначили) должен быть создан с системе, он тоже может работать через почту, но тут возникает вопрос зачем вам GLPI ?)

Ну, например, как я уже писал выше интересует передача заявок от одного специалиста другим, настройка SLA, чем отличаются режимы при работе с заявкой(там есть непонятные пункты типа «Личный», «Изменения», «Проблемы»)

Добрый день!
Пока не планировал, времени мало, но если интересно, напишите какие темы вас интересуют, а я попробую написать статьи на эти темы.

Ошибка где-то в настройках почтового аккаунта, проверяйте настройки.
Еще может быть неправильно указан метод отправки, например phpmail нужно настраивать отдельно.

Пробуйте разные настройки подключения к вашему почтовому ящику, проблема где-то в ваших настройках.
Еще как вариант проверьте доступны ли порты pop/imap/smtp серверу где установлен GLPI

Система должна сама создать заявку из входящего письма. В таком случае пользователь это — email отправителя.
Далее важно чтобы пользователь не менял тему письма, тогда GLPI будет корректно вести заявку.
В вашем случае проверьте что почтовый приемник правильно настроен и правильно указана папка Inbox в настройках.
По поводу спама, тут glpi не причем, вы же сами его настроили принимать заявки через почту. настраивайте антиспам или создвайте ящик только внутри организации без доступа в интернет.